Menyelesaikan persamaan-persamaan rasional sederhana
Sejauh ini kita telah melihat bagaimana persamaan-persamaan linier sederhana diselesaikan dan kita juga telah menjelaskan beberapa metode yang digunakan untuk menentukan nilai dari variabel-variabel yang tidak diketahui dalam persamaan-persamaan tersebut. Berikut ini kita akan membahas tentang persamaan-persamaan rasional, dimana variabel-variabel yang harus ditentukan adalah bagian dari pecahan. Mari kita bahas beberapa contoh yang paling umum dari persamaan-persamaan rasional, bersama dengan cara-cara menyelesaikannya.
Contoh
Selesaikan persamaan berikut ini untuk x:
1) x / 3 + x/ 5 = 12.
2) 1 / (x – 2) = 7.
3) (x + 1) / (x – 4) = 2.
Penyelesaian dan pembahasan
1) Ini adalah salah satu dari contoh-contoh persamaan rasional yang dapat diubah menjadi persamaan-persamaan linier. Yang perlu kita lakukan adalah menulis ulang suku-suku pada sisi kiri dari bentuk tersebut. Jika kita menuliskan x/3 sebagai 5x/15 dan x/5 sebagai 3x/15, menambahkannya bersama-sama menjadi mudah. Maka persamaannya menjadi 8x/15 = 12. Jika kita mengalikan persamaannya dengan 15 kita akan mendapatkan sebuah persamaan linier yang cukup mudah untuk diselesaikan, 8x = 180. Yang perlu kita lakukan sekarang adalah membagi 180 dengan 8 untuk mendapatkan x = 180/8, atau 22.5.
2) Ketika variabel yang ingin kita selesaikan adalah bagian dari penyebut (denominator) menyelesaikan persamaan menjadi sedikit lebih rumit. Aspek pertama yang harus kita perhatikan sejak awal adalah bahwa x=2 tidak dapat menjadi sebuah penyelesaian untuk persamaan ini karena tidak mungkin untuk dibagi dengan 0. Hal ini berarti bahwa meskipun setelah menyelesaikan persamaan kita mendapatkan x=2, ini bukanlah salah satu dari penyelesaiannya. Setelah membahas kasus khusus ini, kita dapat menuliskan persamaannya dengan x – 2 = 1/7. Ketika persamaan linier ini didapatkan, mencari x menjadi lebih mudah dan kita hanya perlu menambahkan 2 pada 1/7, mendapatkan x = 1/7 + 2 = 15/7. Kita dapat memeriksa bahwa 1 / (15/7 – 2) = 1 / (15/7 – 14/7) = 1/1/7 = 7 berlaku.
3) Contoh ketiga ini adalah bentuk persamaan rasional yang paling rumit yang mungkin terjadi. Dimana variabel yang ingin kita selesaikan adalah bagian dari pembilang dan penyebut. Ada beberapa metode yang dapat kita pakai untuk menyelesaikannya. Sekali lagi, seperti dalam contoh sebelumnya, kita perlu menyederhanakan kasusnya sejak awal ketika x = 4, supaya dapat mengalikan persamaan tersebut dengan (x – 4) (mengalikan dengan 0 akan selalu mengarah pada 0=0, yang ingin kita hindari).
Setelah menyederhanakan kasus ini dan melakukan perkalian, kita mendapatkan x + 1 = 2(x – 4), or x + 1 = 2x – 8. Kita dapat menulis ulang persamaan linier ini pada x – 9 = 0, yang darinya x = 9 dapat dengan mudah disimpulkan. Memeriksa apakah penyelesaian ini berlaku, kita mendapatkan (9 + 1) / (9 – 4) = 2, atau 10 / 5 = 2, yang adalah benar. Karena hasilnya bukanlah 4, kita dapat dengan mudah mengatakan bahwa ini adalah penyelesaian valid untuk persamaan rasional ini.
